基本的な常微分方程式の解き方-1階微分方程式-

概要

微分方程式は物理学等の様々な場面で使われている。
今回は、基本的な微分方程式の解法についてまとめた。

下の形で書ける微分方程式を直接微分形と言う。
この形の方程式は両辺をｘで積分することですぐに求めることが出来る。

・・・(1-1)

式1-1の両辺を積分すればよい

下式のように、右辺がｘの関数f(x)とｙの関数g(y)の積で書くことが出来る方程式を、変数分離形という。
この形の方程式は、f両辺をf(x)で割ったのち、xで積分する事により求めることが出来る。

この形の方程式は、f両辺をf(x)で割ったのち、xで積分する事により求めることが出来る。

・・・(2-1)

式2-1の両辺をg(y)で割る

・・・(2-2)

両辺をxで積分する。

・・・(2-3)

ここで右辺の積分でと置き換えられるので式2-3は以下のようになる。

・・・(2-4)

後は両辺をそれぞれ積分しyを求めればよい。

右辺がy/xの関数として書ける微分方程式を同次形の微分方程式という。
この式はu=y/xと置くことで、変数分離形の方程式に帰着させることが出来る。

・・・(3-1)

u=y/xを用いると、式3-1の左辺は次のようになる。

・・・(3-2)

これとuを式3-1に代入すると、次のようになる。

・・・(3-3)

これを変形すれば変数分離形の方程式（式3-4）が出来る。

・・・(3-4)

以降は前節と同じ方法で解くことが出来る。

１階線微分方程式とは、以下のようにｘの関数p(x)とq(x)を用いて書ける方程式である。この方程式はe ^(∫p(x)dx) を両辺に掛ける事で解くことが出来る。

・・・(4-1)

上式4-1の両辺にe ^(∫p(x)dx) を掛ける。

・・・(4-2)

ここで左辺を変形すると以下のようになる。

・・・(4-3)

後は両辺をｘで積分しyについて解けばよい。結果は以下のようになる。

・・・(4-4)

特にp(x)=α(定数)の場合は以下のようになる。

・・・(4-5)